Alternativamente à modelagem utilizando as relações pré-estabelecidas
entre momento fletor e força cortante, pode-se realizar a determinação de ambos
através da divisão da viga em
seções. Como exemplo, consideremos o seguinte exemplo:
O exemplo é constituído por uma viga apoiada em ambas as extremidades
e submetida a três tipos de carregamentos, um momento de 20KN.m, uma carga
pontual de 15KN e uma carga distribuída de 6KN/m. O comprimento total da viga é
de 10m, e a distribuição dos carregamentos está disposto conforme a figura
acima.
Antes de iniciarmos a modelagem matemática do
exemplo, vamos relembrar as convenções de sinais para momento fletor e força
cortante. O momento
fletor do segmento em análise será positivo quando o houver compressão da parte
superior e tração da parte inferior, e negativo para o contrário. A força
cortante será positiva quando o segmento em análise tender a girar no sentido
horário, e negativo para o sentido anti-horário. A figura abaixo ajuda a ilustrar o
descrito.
Após o estabelecimento da convenção de sinais, o primeiro passo é
cálculo da reação nos pontos de apoio. Sendo assim, temos que o equilíbrio
estático é dado pelo seguinte.
Substituindo (2) em (1), temos que:
Após a determinação das reações nos pontos de apoio, divide-se a
viga em segmentos de acordo com a distribuição dos carregmentos conforme figura
a seguir.
Onde"x" é a coordenada genérica de qualquer ponto ao longo da viga. O diagrama de corpo livre para o primeiro trecho (0 ≤ x < 1) é conforme representado a seguir.
Sendo “C” o ponto genérico em análise localizado no intervalo
Ou seja, a força cortante no intervalo em questão é
constante e igual a 23,6KN. Em relação ao somatório dos momentos no ponto C, temos
que:
Verifica-se que o momento fletor
no intervalo é uma função do 1° grau tendo como ponto inicial M(0) igual a 0 e
ponto final M(1) igual a 23,6 KN. É interessante realizar tal substituição de
forma a identificar as diversas descontinuidades geradas pelos carregamentos e
traçadas nos diagramas.
O diagrama da força cortante para o intervalo 0 ≤ x < 1 é o seguinte:
E para o momento fletor, temos o seguinte:
O próximo segmento é dado por 1 ≤
x < 2. O diagrama de corpo livre para o segmento é dado conforme figura a
seguir.
O equilíbrio das forças é o seguinte:
O equilíbrio dos momentos é dado por:
Observamos que para x=1, existe uma
descontinuidade para o diagrama do momento fletor. Tal descontinuidade é
ocasionada pelo momento aplicado de 20KN.m na viga. Sendo assim, os diagramas
são os seguintes:
O próximo segmento é dado por 2 ≤ x < 4. O diagrama de corpo livre para o segmento é dado conforme figura a seguir.
As equações de equilíbrio são as seguintes:
Cabe ressaltar que para x=2 ocorre uma descontinuidade devido ao carregamento de 15KN, sendo tal descontinuidade mostrada a seguir no diagrama da força cortante.
O próximo segmento é dado por 4 ≤ x < 8. O diagrama de corpo livre para o segmento é dado conforme figura a seguir.
Observe que a força cortante vai ser nula quando x igual a 5,433. Este ponto é importante para a análise, pois é onde o momento fletor terá um valor de máximo ou mínimo.
Sabendo-se que M(x) é uma função polinomial de 2° grau, e que M(4) < M(5,433) > M(8), concluímos que, para V(x) = 0, o momento fletor é máximo e igual a 50,56 KN.m.
O próximo segmento é dado por 8 ≤
x < 10. O diagrama de corpo livre para o segmento é dado conforme figura a
seguir.
As equações de equilíbrio estático são as seguintes:
Os diagramas são os seguintes:
É importante salientar que para x=10, temos a reação no ponto de apoio B o qual leva a força cortante a zero.
